Воздушные и кабельные линии

Воздушные и кабельные линии, несмотря на конструктивные различия, в ЦДЭС могут быть описаны одним и тем же элементом — сегментом ЛЭП. В зависимости от задач пользователя может быть использована модель линии с сосредоточенными параметрами (Пи-секция) или с распределенными параметрами (длинная линия).

Линии с сосредточенными параметрами

Линии с сосредоточенными параметрами представляют собой трёхфазный элемент, в котором присутствуют продольные активные сопротивления, продольные индуктивные сопротивления, поперечные емкостные проводимости на землю.
Также для моделирования протекания токов нулевой последовательности включаются взаимные связи между элементами. Схема замещения представлена на рисунке ниже. Такая схема замещения является классической.

Схема замещения линии электропередач с сосредоточенными параметрами

Как правило, при задании параметров Пи-секции оперируют погонными величинами — величинами на единицу длины ЛЭП: погонное активное сопротивление, погонное индуктивное сопротивление, погонная проводимость на землю. Иногда может использоваться погонная рабочая емкость на землю, однако достаточно просто преобрзаовать емкость в емкостную проводиомость, умножив её на базисную частоту.

Данная модель не учитвает распределенность параметров и изменение электрических величин вдоль линии. Данная модель позволяет упростить расчёт, не углубляясь в сложные процессы, происходящие в длинных линиях. Она отлично подходит для линий небольшой длины, однако выбор модели зависит от целей исследователя.

Линии с распределенными параметрами

Общее описание

Линии могут иметь длины сопоставимые с длиной электромагнитной волны (для $50\ Гц$ длина волны составляет $6000\ км$), поэтому важно учитывать распределенность параметров. В длинной линии пренебрегать токами смещения и утечки недопустимо, а следовательно, ток в проводах в точках с пространственной координатой в различных сечениях линии имеет различное значение. Ток в проводах линии вызывает падение напряжения в активном сопротивлении проводов и создает переменное магнитное поле, которое наводит вдоль всей линии ЭДС самоиндукции. Следовательно, напряжение между проводами вдоль линии также изменяется.

Рассмотрим простейшую систему с однофазной линией электропередачи, где обратным проводом выступает земля.

Длинную линию можно представить как набор бесконечно малых участков длинной $dz$, обладающих
сопротивлением $r_0$ — сопротивление провода на единицу длины, моделирующее нагрев проводника, (в энергетике $Ом/км$),
индуктивностью $x_{L0}$ — индуктивное сопротивление петли образованной проводниками и землёй на единицу длины, $Ом/км$,
проводимостью $g_0$ — проводимость линии на единицу длины, которая учитывает токи утечки между прямым и обратным проводами, $См/км$,
и емкостью $b_{C0}$ — рабочая емкостная проводимость между проводами на единицу длины, $См/км$.

Также могут вводится параметры взаимной связи между проводниками разных фаз. Данные параметры являются первичными.

Обычно активной проводимостью $g_0$ пренебрегают. Дальнейшие рассуждения будут оперировать этим параметром для сохранения общности.

Погонная индуктивность $L_{0}$ и емкость $C_{0}$ длинной линии определяются на основе базисной частоты $f$ электрического тока, для которой были произведены замеры индуктивного сопротивления и емкостной проводимости

$$L_{0} = \cfrac{x_{L0}}{2 \pi f}, C_{0} = \cfrac{b_{C0}}{2 \pi f}$$

Схема замещения малого участка линии длиной $dz$ представлена на рисунке ниже.

Схема замещения звена длинной линии

Для описания процессов, происходящих в длинных линиях, используются телеграфные уравнения:

$${\begin{cases} \cfrac{\partial u}{\partial z} = r_0 i + L_0 \cfrac{\partial i}{\partial t} \\ \cfrac{\partial i}{\partial z} = g_0 u + C_0 \cfrac{\partial u}{\partial t} \\ \end{cases}}$$

Данные уравнения справедливы для любых изменений тока и напряжения во времени. Решение данной системы уравнений в частных производных дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии $z$ и времени $t$. Для однозначного решения этих уравнений нужно знать начальные условия: $u(z, t)$, $i(z, t)$ при $t = 0$ и граничные условия $u(z,t)$, $i(z,t)$ при $z = 0$ и $z = l$,  где $l$ – длина линии.

Решение системы этой системы дифференциальных уравнений в частных производных предподлагает переход в комплексную плоскость, так как решение ищется для синусоидальных сигналов (постоянный ток в этом случае рассматривается как сигнал с частотой $\omega = 0$).

Свойства длинной линии характеризуются дополнительными параметрами, например, коэффициентом распространения

$$\underline{\gamma} =\sqrt{\underline{Z_0} \cdot \underline{Y_0}} = \sqrt{(r_0 + j\omega L_0) \cdot (g_0 + j \omega C_0)}=\alpha + j \beta$$

где $\alpha$ - коэффициент затухания на единицу длины, $\cfrac{Нп}{км}$,
$\beta$ - коэффициент фазы на единицу длины, $\cfrac{рад}{км}$.

Сам коэффициент распространения не имеет физического смысла, значимы лишь его составляющие коэффициенты фазы и затухания. Так, например, коэффициент фазы показывает, насколько изменится фаза сигнала при прохождении по единице длины линии. А коэффициент затухания говорит о том, насколько уменьшится амплитуда сигнала при прохождении по единице длины линии.

Аналогично существует понятие волнового сопротивления $Z_c$, определяемое как:

$$\underline{Z_в} =\sqrt{\cfrac{\underline{Z_0}} {\underline{Y_0}}} = \sqrt{\cfrac{r_0 + j\omega L_0} {g_0 + j \omega C_0}}.$$

Волновое сопротивление в общем случае не имеет зависимости от частоты и определяется исключительно параметрами среды передачи. Эта величина показывает то, как волна распространяется по среде.

Тогда решение уравнений можно записать следующим образом:

$${\begin{cases} \underline{U} = \underline{U}_1 \ch(\underline{\gamma} z) - \underline{I}_1 \underline{Z}_c \sh{(\underline{\gamma} z)} \\ \underline{I} = \underline{I}_1 \ch{(\underline{\gamma} z)} - \cfrac{\underline{U}_1}{\underline{Z}_c} \sh{(\underline{\gamma} z)} \\ \end{cases}}$$

где $\underline{I}_1$, $\underline{U}_1$ – ток и напряжение в начале линии.

Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость $v_ф$ и длина волны $\lambda$. Фазовой скоростью волны $v_ф$ называется скорость перемещения точки, фаза колебания которой остается постоянной. Из этого следует формула:

$$v_ф = \cfrac{\omega}{\beta},$$

где $\omega$ - угловая частота сигнала.

Таким образом видно, что вторичные параметры линии, а значит, и вторичные параметры, связаны с физическими параметрами волны, проходящей по линии.

Математическая модель длинной линии

В ЦДЭС для математического описания длинной линии используется метод набегающих волн. Данное решение позволяет оптимизировать расчёт. Если пренебречь активными потерями, тогда можно записать время $\tau$, за которое волна пройдёт от одного конца линии до другого:

$$\tau = l \sqrt{C_{0} L_{0}}.$$

Поскольку длинная линия однородна на всем своем протяжении, можно перейти к рассмотрению значений токов и напряжений по концам линий. Связь обоих концов линий осуществяется с задержкой, вызванной перемещением электромагнитной волны за время $\tau$ от одного до другого конца. Тогда длинная линия может быть представлена в виде двух управляемых источников тока по концам линии с проводимостью, обратной волновому сопротивлению $Z_в$.

Длинная линия без потерь
и ее математическая модель

Математические расчеты электрической цепи в мгновенных значениях ведутся с постоянным шагом времени $\Delta t$. Тогда электромагнитная вална дойдет из одного конца линии до другого за некоторое конечное число целых шагов моделирования $n$

$$n = \cfrac{\tau}{\Delta t}$$

Если $n$ получилось дробным числом, то дополнительно используются методы интерполяции для сглаживания ошибки, вызванной несоответствием рассчитанного и фактического числа шагов.

Если $n < 1$, значит электромагнитаня волна проходит линию быстрее шага расчета модели. В таком случае использовать модель длинной линии нельзя из-за больших погрешностей, и следует перейти к модели с сосредоточенными параметрами или изменить шаг расчета.

Чтобы учесть активное сопротивление длинной линии $R_л = r_0 \cdot l$, сама линия представляется в виде двух равных участков без потерь, между которыми размещается половина , а по краям – по четверти активного сопротивления $R_л$. В результате получаются одинаковые части линии, окруженные с двух сторон сопротивлениями $R_л/4$.

Включение активного сопротивления длинной линии

Поскольку активные сопротивления $R_л/4$ стоят последовательно с источниками тока половин длинной линии, их можно включить в проводимость источника с корректировкой самого этого источника. Дальнейшие математические преобразования позволяют свести такую конструкцию к модифицированным управляемым источникам тока по краям длинной линии.

Многофазная линия электропередач содержит не только собственные параметры по каждой фазе, но и взаимные. В результате этого электромагнитная волна имеет множество путей для распространения по многофазной линии электропередач с распределенными параметрами. Скорость $v$ будет различной для каждого из этих путей.

Для решения этой задачи в линии электропередач выделяются независимые моды распространения электромагнитных волн (производится диагонализация решения). Для каждой из таких мод поределяется свое модальное время распространения $\tau_{mode}$. Фактические фазные парметры будут являться суперпозицией их модальных составляющих.