Трансформаторы и автотрансформаторы

Основное описание

Трансформатор можно описать в виде двух катушек с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ и взаимной индуктивностью $M$, связывающую эти катушки магнитно. Схема замещения такого трансформатора показана на рисунке ниже.

Схема замещения идеального
двухобмоточного трансформатора

Падение напряжения на катушке индуктивности может быть определено, как $u=L \cfrac{di}{dt},$ где $u$ — мгновенное значение падения напряжения на катушке индуктивности;
$i$ — мгновенное значение тока, протекающего через катушку.

При наличии магнитной связи между катушками индуктивности для определения падений напряжения в каждой из них в один и тот же момент времени требуется решить систему уравнений, включающую эту связь.

$${\begin{cases} u_{1}=L_{1} \cfrac{d i_{1}}{dt}+M \cfrac{d i_{2}}{dt} \\ u_{2}=M \cfrac{d i_{1}}{dt} +L_{2} \cfrac{d i_{2}}{dt} \\ \end{cases}}$$

Система линейных дифференциальных уравнений легко обращается в матричную форму вида

$$\left[{\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ \end{array}}\right] = \left[{\begin{array}{cc} L_{1} & M \\ M & L_{2} \\ \end{array}}\right] \cdot \cfrac{d}{dt} \left[{\begin{array}{c} i_{1} \\ i_{2} \\ \end{array}}\right]$$

или в более сжатой форме

$$\textbf{\textit{U}}=\textbf{\textit{L}} \cfrac{d \textbf{\textit{I}} }{dt}$$

При увеличении количества обмоток трансформатора соответственно увеличивается размерность применяемых матриц.

Решая данное матричное уравнение, можно получить значения токов и напряжений в трансформаторе для каждого нового момента времени.

Из уравнения видно, что коэффициент трансформации такого трансформатора не задается в явном виде. Здесь он зависит только от значений матрицы $\textbf{\textit{L}}$, наполненной параметрами $L_{1}$, $L_{2}$ и $M$. Эти параметры легко определяются на основании опытов холостого хода и короткого замыкания.

Опыт холостого хода предполагает, что на одну из обмоток трансформатора подается напряжение с номинальным значением для данной обмотки $U_{ном}$. Вторая обмотка является разомкнутой. Тогда по первой обмотке потечет ток $I_{0}$, именуемый током холостого хода. В справочниках дается значение тока холостого хода, приведенное в процентах к номинальному току — $i_{0}$. Измеряемое значение индуктивного сопротивления в этом случае определяется по формуле

$$X_{0}=\cfrac{100\%}{i_{0}}\cdot\cfrac{U_{ном}^{2}}{S}\,[\text{Ом}],$$

где $S$ — номинальная мощность трансформатора.

В опыте короткого замыкания вторая обмотка замыкается накоротко. На первую обмотку подается такое значение напряжения $U_{к}$, при котором через обмотку потечет ток номинальным значением для этой обмотки $I_{ном}$. Напряжение $U_{к}$ называется напряжением короткого замыкания. В справочниках дается значение напряжения короткого замыкания, приведенное в процентах к номинальному — $u_{к}$. Измеряемое значение индуктивного сопротивления в этом случае определяется по формуле

$$X_{к}=\cfrac{u_{к}}{100\%}\cdot\cfrac{U_{ном}^{2}}{S}\,[\text{Ом}].$$

Из опытов также определяются активные потери при холостом ходе $P_0$ и коротком замыкании $P_к$. Эти потери вносятся в схему замещения трансформатора в виде постоянных активных сопротивлений, параметры которых являются производными от измеряемых значений активных сопротивлений.
По холостому ходу:

$$R_{0}=\cfrac{S}{P_{0}}\cdot\cfrac{U_{ном}^{2}}{S}\,[\text{Ом}],$$

по короткому замыканию:

$$R_{к}=\cfrac{P_к}{S}\cdot\cfrac{U_{ном}^{2}}{S}\,[\text{Ом}].$$

Параметры трансформатора определяются в соответствии с указанными опытами на основе предположения, что результат опытов в относительных единицах останется неизменным, если к источнику питания подключить вторую обмотку, а коммутировать — первую.

Переключение отпаек трансформатора

Отпайка трансформатора представляет собой дополнительные выводы в одной из обмоток этого трансформатора. Переключаясь с одной отпайки на другую можно увеличивать или уменьшать количество витков в одной из обмоток.

Расположение и нумерация отпаек
на обмотке трансформатора

Поскольку коэффициент трансформации определяется, как

$$k_т=\cfrac{\omega_1}{\omega_2} ,$$

где $\omega_1$ — количество витков в обмотке 1;
$\omega_2$ — количество витков в обмотке 2;
изменение количества витков приводит к изменению коэффициента трансформации и, как следствие, к изменению напряжения в одной из обмоток.

С другой стороны, номинальный коэффициент трансформации трансформатора может быть определен, как отношение его номинальных напряжений

$$k_{т\ ном}=\cfrac{U_{ном\ 1}}{U_{ном\ 2}} .$$

Получается, что изменение количества витков при переключении отпайки приводит к отклонению коэффициента трансформации от номинального значения. Это, в свою очередь, можно представить в виде изменения параметра номинального напряжения регулируемой обмотки.

Для обеспечения линейного регулирования напряжения количество витков в отпайках подбирается таким образом, чтобы при каждом переключении значение контролируемого напряжения всегда менялась на одну и ту же величину $\Delta U$, именуемую шагом РПН (регулирования под напряжением). В справочниках $\Delta U$ задается в процентах к номинальному напряжению регулируемой обмотки.

Значит, параметр номинального напряжения регулируемой обмотки должен меняться согласно закону

$$U_{ном}=U_{ном\ 0} \left( 1 \pm n \cfrac{\Delta U}{100\%} \right),$$

где $U_{ном\ 0}$ — номинальное напряжение регулируемой обмотки, задаваемое по паспорту;
$n$ — текущий номер отпайки.

Нумерация отпаек задается в соответствии с увеличением или уменьшением параметра номинального напряжения обмотки. Так для трансформатора с параметрами РПН $\pm 9 \times 1,78\%$ при отпайке $n=9$

$$U_{ном}=U_{ном\ 0} \left(1+9\cdot \cfrac{1,78\%}{100\%}\right)=1,1602U_{ном\ 0},$$

при отпайке $n=-9$

$$U_{ном}=U_{ном\ 0} \left(1+(-9)\cdot \cfrac{1,78\%}{100\%}\right)=0,8398U_{ном\ 0}.$$

Получается, что максимальное значение отпайки $n_{\text{max}}=9$, а минимальное — $n_{\text{min}}=-9$.

Коэффициент трансформации трансформатора в схеме замещения не задается в явном виде, а определяется из параметров матрицы индуктивностей $\textbf{\textit{L}}$:

$$\textbf{\textit{L}}= \left[{\begin{array}{cc} L_{1} & M \\ M & L_{2} \\ \end{array}}\right],$$

где $L_1$, $L_2$ — индуктивности обмоток 1 и 2;
$M$ — взаимоиндукция между обмотками 1 и 2.

Чем больше обмоток в трансформаторе, тем выше размер указанной матрицы. Значения параметров матрицы $\textbf{\textit{L}}$, в частности, зависят номинальных напряжений обмоток трансформатора $U_{ном\ 1}$ и $U_{ном\ 2}$.
Поскольку при переключении параметр номинального напряжения изменяется, то переключение вызывает перерасчет параметров трансформатора при новых значениях $U_{ном}$.

Схемы соединения обмоток трехфазных трансформаторов и автотрансформаторов

Трехфазные трансформаторы и автотрансформаторы образуются в результате электрического соединения обмоток однофазных элементов. Обмотки можно соединять двумя способами: - звезда (Yg, Yn); - треугольник (D-1, D-11).

Виды соединения
обмоток трансформатора

При соединении обмоток в звезду конечные выводы обмоток соединяются в общую точку — нейтраль, которая может быть как жестко заземлена (в схеме Yg), так и не связана с землей (в схеме Yn).

При соединении обмоток по схеме «треугольник» начальный вывод обмотки одной фазы электрически соединяется с конечным выводом другой. Такой вид соединения может быть получен несколькими способами.

От того, как соединены обмотки трансформатора, зависит сдвиг фазы выходного напряжения трансформатора относительно входного. Так формируется группа соединения обмоток. При соединении обмоток типа Y/Y всегда будет формироваться группа соединения 0. Схема соединения D-11 соединена таким образом, чтобы для понижающего трансформатора со схемой соединения на высшей стороне Yg или Yn и схемой соединения на низшей D-11 формировалась группа соединения 11. Для схемы соединения D-1 аналогичным образом формируется группа соединения 1. При других сочетаниях группы соединения будут отличаться.

Насыщение и броски намагничивающего тока

Реактивные потери в трансформаторе (потери холостого хода) вызваны поддержанием магнитного поля в ферромагнитном сердечнике трансформатора и проявляются в виде протекания намагничивающего тока. Зависимость потокосцепления в обмотке от величины намагничивающего тока является нелинейной и объясняется насыщением магнитопровода.

Для моделирования нелинейного намагничивающего тока используются источники тока, подключенные к одной из обмоток. Мгновенное значение потокосцепления в обмотке в относительных единицах может быть определено, как

$$\underset{*}{\Psi}= \int \cfrac{u(t)}{U_{ном}}dt$$

где $u(t)$ — мгновенное значение напряжения на обмотке в момент времени $t$;
$U_{ном}$ — номинальное напряжение обмотки, где моделируется насыщение.

После определения значения потокосцепления согласно нелинейной зависимости выбирается значение тока намагничивания. Эта нелинейная зависимость имеет две асимптоты: ось потокосцепления $\Psi$ при малых значениях тока намагничивания $I_m$ и линейную характеристику намагничивания соответствующего воздушного трансформатора, что показано на рисунке ниже.

Кривая намагничивания магнитопровода трансформатора

Это значит, что в рабочем режиме, когда потокосцепление близко к номинальному, ток намагничивания крайне мал — меньше тока холостого хода трансформатора. Если потокосцепление возрастает, то токи намагничивания значительно увеличиваются. Это происходит потому, что магнитная проводимость магнитопровода ограничена, и при некотором значении потокосцепления $\Psi_m$ происходит переход на работу трансформатора, как воздушного.

Асимптоты можно свести к идеальной характеристике намагничивания. При значениях потокосцепления, ниже некоторого $\Psi_k$ ток намагничивания отсутствует. При более высоких значениях трансформатор насыщается. Все домены магнитопровода выстраиваются вдоль магнитных линий — новых доменов под действием внешнего магнитного поля повернуться не может — поэтому влияние магнитопровода невелико. В таком виде вместо магнитопровода можно рассматривать воздушный сердечник. Индуктивное сопротивление $L_a$ такого трансформатора может приближенно приниматься, как удвоенное значение напряжения короткого замыкания $2\cdot u_к$ в относительных единицах. В иностранной литературе данный параметр характеризуется, как “air core reactance”.

В действительности некоторый ток намагничивания будет протекать и в ненасыщенным трансформаторе. Точка в которой трансформатор переходит в насыщение, определяется номинальным током холостого хода $I_0$ и напряжением намагничивания $u_m$. Эта точка будет являться «коленом» характеристики намагничивания. Значения $\Psi_k$ и $\Psi_m$ могут отличаться друг от друга. Это различие задается коэффициентом намагничивания $K$.

Таким образом характеристика задается следующей системой уравнений:

$${\begin{cases} \Psi_{m}=\cfrac{u_{m}}{2\pi f}\\ \Psi_{k}=K \cdot \Psi_{m}\\ A = \cfrac{L_a}{\Psi_k^2}\\ B = \cfrac{L_a I_0 - \Psi_m}{\Psi_k}\\ C = I_0 \left( L_a I_0 - \Psi_m +\Psi_k \right)\\ D = \cfrac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\\ I_m = \cfrac{\sqrt{{(\Psi - \Psi_k)}^2+4DL_a} + \Psi - \Psi_k}{2L_a} - \cfrac{D}{\Psi_k}\\ \end{cases}}$$

откуда получается моделируемое значение намагничивающего тока $I_m$ в текущий момент времени.

Автотрансформаторы

У автотрансформаторов сторона высшего и среднего напряжения имеют друг с другом гальваническую связь. Данная связь учтена в схеме замещения.

Схема замещения идеального
двухобмоточного автотрансформатора

В схеме замещения автотрансформатор представлен двумя обмотками: последовательной и общей с индуктивностями $L_п$ и $L_о$ соответственно. Эти обмотки расположены на одном магнитопроводе, в результате чего мжду ними существует магнитная связь со взаимоиндукцией $M$. Напряжение средней стороны $U_{СН}$ снимается с общей обмотки. Последовательная обмотка, в соответствии с названием, последовательно подключена к общей. Напряжение высшей стороны $U_{ВН}$ подается на последовательное соединение общей и последовательной обмотки.

В результате такой конфигурации схемы замещения понятие схемы соединения обмоток применяется к соединению последовательной и общей обмоткок, как единой обмотке. Другими словами, схема соединения обмоток задается только для стороны ВН автотрансформатора.

Трехобмоточные автотрансформаторы имеют дополнительную бомотку низшего напряжения, которая не имеет гальванической связи с общей и последовательной обмотками. Магнитная связь обмотки низшего напряжения с ними обеспечивается соответствующими взаимными индуктивностями.